Добрый день, уважаемые студенты, сегодня вам необходимо изучить тему «Формулы производной», затем Доказательство 3 записать в тетрадь
Работы присылайте на эл.почту ira.pronina-irina@yandex.ru или ватсап 962 805 90 52
Таблица производных. Доказательство формул
Константа
(C)’=0
Степенная функция ( x p ) ‘ = p ⋅ x p − 1
Показательная функция ( a x ) ‘ = a x ⋅ ln a
Тригонометрические функции ( sin x ) ‘ = cos x
( cos x ) ‘ = − sin x
( t g x ) ‘ = 1/ cos 2 x
( c t g x ) ‘ = − 1/ sin 2 x
Доказательство 1
Для того, чтобы вывести данную формулу,
возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x
x0=x, где x x принимает значение любого действительного числа, или, иначе
говоря, x x является любым числом из области определения функции f ( x ) = C
f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению
аргумента при Δ x → 0 ∆x→0: lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 C − C Δ x =
lim Δ x → 0 0 Δ x = 0 lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0 Обратите
внимание, что под знак предела попадает выражение 0 Δ x 0∆x. Оно не есть
неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не
бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной
функции всегда есть нуль. Итак, производная постоянной функции f ( x ) = C
f(x)=C равна нулю на всей области определения.
Доказательство 2
Приведем доказательство
формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 ,
3 , … p=1, 2, 3, … Вновь опираемся на определение
производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к
приращению аргумента: ( x p ) ‘ = lim Δ x → 0 = Δ ( x p ) Δ x = lim Δ x → 0 ( x
+ Δ x ) p − x p Δ x (xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x Чтобы упростить
выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона: ( x + Δ x ) p − x p =
C 0 p + x p + C 1 p ⋅ x p −
1 ⋅ Δ x + C 2 p ⋅ x p −
2 ⋅ ( Δ x ) 2 + . . . + + C p − 1 p ⋅ x ⋅ ( Δ x
) p − 1 + C p p ⋅ ( Δ x
) p − x p = = C 1 p ⋅ x p −
1 ⋅ Δ x + C 2 p ⋅ x p −
2 ⋅ ( Δ x ) 2 + . . . + C p − 1 p ⋅ x ⋅ ( Δ x
) p − 1 + C p p ⋅ ( Δ x
) p
(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p
Таким образом: ( x p ) ‘ = lim Δ x → 0 Δ ( x p ) Δ x = lim Δ x → 0 ( x + Δ x )
p − x p Δ x = = lim Δ x → 0 ( C 1 p ⋅ x p −
1 ⋅ Δ x + C 2 p ⋅ x p −
2 ⋅ ( Δ x ) 2 + . . . + C p − 1 p ⋅ x ⋅ ( Δ x
) p − 1 + C p p ⋅ ( Δ x
) p ) Δ x = = lim Δ x → 0 ( C 1 p ⋅ x p −
1 + C 2 p ⋅ x p − 2 ⋅ Δ x + . . . + C p − 1 p ⋅ x ⋅ ( Δ x
) p − 2 + C p p ⋅ ( Δ x
) p − 1 ) = = C 1 p ⋅ x p −
1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! ⋅ ( p −
1 ) ! ⋅ x p − 1 = p ⋅ x p −
1 (xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель
степени – натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести
доказательство для случая, когда p p — любое действительное число, отличное от
нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от
производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание
желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно
разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной
функции. Рассмотрим два случая: когда x x положительны и когда x x
отрицательны. Итак, x > 0 x>0. Тогда: x p > 0 xp>0. Логарифмируем
равенство y = x p y=xp по основанию e e и применим свойство логарифма: y = x p
ln y = ln x p ln y = p ⋅ ln
x y=xpln y=ln xpln y=p·ln x На данном этапе получили
неявно заданную функцию. Определим ее производную: ( ln y ) ‘ = ( p ⋅ ln x ) 1 y ⋅ y ‘ = p ⋅ 1 x ⇒ y ‘ =
p ⋅ y x = p ⋅ x p x
= p ⋅ x p − 1 (ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1
Теперь рассматриваем случай, когда x x – отрицательное число. Если показатель p
p есть четное число, то степенная функция определяется и при x < 0 x<0,
причем является четной: y ( x ) = − y ( ( − x ) p ) ‘ = − p ⋅ ( − x ) p − 1 ⋅ ( − x ) ‘ = = p ⋅ ( − x
) p − 1 = p ⋅ x p − 1
y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1 Тогда x p < 0 xp<0 и
возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Если
p p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x < 0
x<0, причем является нечетной: y ( x ) = − y ( − x ) = − ( − x ) p
y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда x p < 0 xp<0, а значит логарифмическую
производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу
доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной
сложной функции: y ‘ ( x ) = ( − ( − x ) p ) ‘ = − ( ( − x ) p ) ‘ = − p ⋅ ( − x ) p − 1 ⋅ ( − x ) ‘ = = p ⋅ ( − x
) p − 1 = p ⋅ x p − 1
y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1 Последний переход
возможен в силу того, что если p p — нечетное число, то p − 1 p-1 либо четное
число, либо нуль (при p = 1 p=1), поэтому, при отрицательных x x верно
равенство ( − x ) p − 1 = x p − 1 (-x)p-1=xp-1. Итак, мы доказали формулу
производной степенной функции при любом действительном p p.