доброе утро! Вам необходимо изучить теоретический материал по теме «Определение производной», записать пример 1, 2. Работы жду на эл.почту ira.pronina-irina@yandex.ru или на ватсап 962 805 90 52
Производная, основные определения и понятия
Содержание:
— Определение производной функции в точке
— Нахождение производной иначе называют дифференцированием
Определение 1
Пусть х – это аргумент функции f ( x ) f(x) и ∆x возьмем малое число, не равное 0 .
Значение Δ∆x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс».
Определение
2
Когда значение
аргумента x0 переходит к x 0 + Δ x,
тогда и значение функции меняется от f ( x 0 )
до f ( x 0 + Δ x ), если имеется условие монотонности функции из отрезка
[ x 0 ; x 0 + Δ x ] . Приращение функции f ( x ) – это разность f ( x 0 + Δ x )
− f ( x 0 ) = Δ f ( x ) приращения
аргумента.
Пример 1
Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f ( x ) = sin ( x 2 ) , тогда следует зафиксировать точку x 0 = 1 . 6 и приращение аргумента вида Δ x = 0 .4 . Тогда получим, что приращение функции при переходе от x 0 = 1 .6 к x 0 + Δ x = 1.6 + 0.4 = 2 x0+∆x=1.6+0.4=2 будет равно: Δ f ( x ) = Δ sin ( x 2 ) = sin ( ( x 0 + Δ x ) 2 ) − sin ( x 0 2 ) = = sin 2 2 − sin 1. 6 2 = sin 4 − sin 2 . 56 ≈ − 1 . 306 ∆f(x)=∆sin(x2)=sin((x0+∆x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56≈-1.306
Так как приращение Δ f ( x ) отрицательное из отрезка [ 1 . 6 ; 2 ]
[1.6; 2], то это указывает на убывание функции.
Определение
производной функции в точке
Когда функция вида f ( x ) fопределена из промежутка ( a ; b ) , тогда x 0 и x 0 + Δ x считаются точками данного промежутка. Производная функции f ( x ) в точке x 0 — это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда Δ x → 0 .
Данное определение записывается как f ‘ (
x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x. из
Нахождение производной иначе называют
дифференцированием
Пример 2
Найти производную функции sin ( 2 x ) в точке x 0 = π 6 .
Решение
Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы.
Получаем, что ⎛ ⎝ sin ⎛ ⎝ 2 x 0 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠ ‘ = lim Δ x → 0 Δ sin ( 2 x 0 ) Δ x = lim Δ x → 0 sin ( 2 ( x 0 + Δ x ) ) − sin ( 2 x 0 ) Δ x = lim Δ x → 0 2 ⋅ sin 2 ( x 0 + Δ x ) − 2 x 0 3 ⋅ cos 2 ( x 0 + Δ x ) + 2 x 0 2 Δ x = 2 ⋅ lim Δ x → 0 sin ( Δ x ) ⋅ cos ( 2 x 0 + Δ x ) Δ x (sin(2×0))’=lim∆x→0 ∆sin(2×0) ∆x=lim∆x→0sin(2(x0+∆x)) sin(2×0) ∆x==lim∆x→0 2·sin2(x0+∆x)
Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 2 ⋅ lim Δ x → 0 sin ( Δ x ) ⋅ cos ( 2 x 0 + Δ x )
Δ x = = 2 ⋅ lim Δ x → 0 sin ( Δ x )
Δ x ⋅ lim Δ x → 0 cos ( 2 x 0 + Δ x ) = = 2 ⋅ 1 ⋅ cos ( 2 x 0 + 0 ) = 2 cos ( 2 x 0 ) = 2 cos ( 2 ⋅ π 6 ) = = 2 cos π 3 = 2 ⋅ 1 2 = 1 (sin(2×0))’=2·lim∆x→0 sin(∆x)·cos(2×0+∆x x=2·lim∆x→0sin(∆x) ∆x·lim∆x→0cos(2×0+∆x2·1·cos(2×0+0)=2cos(2×0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1
Ответ: ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 1
(sin(2×0))’=1.