Добрый день, уважаемые студенты, прочтите лекцию, разберите пример 1 и запишите в тетрадь, выполненное задание необходимо прислать на электронную почту ira.pronina-irina@yandex.ru или ватсап 962 805 90 52
Предел функции: основные понятия и определения
Содержание:
Понятие предела
Что такое предел функции
В этой
статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним
общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления. Понятие
предела В математике принципиально важным является понятие бесконечности,
обозначаемое символом ∞ ∞. Его следует понимать как бесконечно большое ( + ∞ )
+∞ или бесконечно малое ( − ∞ ) -∞ число. Когда мы говорим о бесконечности,
часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞
+∞ или − ∞ -∞ не стоит заменять просто на ∞ ∞.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение
предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные
определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их
сходимость и расходимость.
Определение 1
Число A A является пределом функции f ( x ) f(x)
при x → ∞ x→∞, если последовательность ее значений будет сходиться к A A для
любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или
положительной).
Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f
( x ) = A limx→∞f(x)=A.
Определение 2
При x → ∞
x→∞ предел функции f ( x ) f(x) является бесконечным, если
последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности
аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Запись выглядит как lim x → ∞ f ( x ) = ∞
limx→∞f(x)=∞.
Пример 1
Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 limx→∞1×2=0 с помощью основного определения предела для x → ∞ x→∞.
Решение
Начнем с записи последовательности значений
функции 1 x 2 1×2 для бесконечно большой положительной последовательности
значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . .
x=1, 2, 3,…, n,…. 1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . .
> 1 n 2 > . . . 11>14>19>116>…>1n2>… Мы видим, что
значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 0. См. на картинке: Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой
отрицательной последовательности. x = − 1 , − 2 , − 3 , . . . ,
− n , . . . x=-1, -2, -3,…, -n,… 1 1 > 1 4 > 1
9 > 1 16 > . . . > 1 ( − n ) 2 > . . .
11>14>19>116>…>1-n2>… Здесь тоже видно монотонное
убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность
данного в условии равенства подтверждена.